Bábel Klára zenei tanulmányait 5 évesen a zongorával kezdte, majd 10 évesen a hárfával párhuzamosan folytatta. 12 évesen felvételt nyert a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem Előképző Tagozatára. Tanárai Nádor György, Lantos István és Bihary László voltak. Hárfa tanulmányait Kiss Tündénél kezdte, zeneiskola után 1évet tanult a Weiner Leó Zeneművészeti Szakközépiskolában, majd felvették a Zeneakadémiára vendéghallgatónak Sipkay Deborah és Lubik Hédy tanítványaként. 2001-ben sikeresen felvételt nyert a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem zongora szakra, 2004-ben pedig a hárfa szakra. Zongora diplomáját 2006-ben jeles minősítéssel, hárfa diplomáját 2007-ben kitüntetéssel vehette át.
2007-2009-ig a Koninklijk Conservatorium hallgatója Brüsszelben, tanára Jana Bouskova, és szintén 2007-től a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem doktorképzését végezte.
Eddigi hazai és nemzetközi díjai:
1994: Budapesti Etűdversenyen Különdíj
2001: Bíró Sári Emlékdíj
1.díj az Associazione Musicale Le Muse Zongoraversenyen
2003: 2.díj a III. Rassegna Internazionale per Giovanni Pianisti Zongoraversenyen
2005: Különdíj a III. Vera Dulova Nemzetközi Hárfaversenyen, Moszkva
2006: 1.helyezés a MÁV Szimfonikusok kisegítői próbajátékán
2007: Budapesti Fesztiválzenekar vendégművésze
2008: 1.helyezés a Magyar Rádió Szimfonikusok kisegítői próbajátékán
2008: 4.helyezés és különdíj a IV. Vera Dulova Nemzetközi Hárfaversenyen, Moszkva
2009: MÁV Szimfonikusok szólóhárfása
2010: Magyar Rádió Szimfonikusok szólóhárfása
2010: Elnyerte a Fischer Annie zenei előadóművészeti ösztöndíjat
2010: Artisjus díj nyertese
2011: Másodjára is elnyerte a Fischer Annie zenei előadóművészeti ösztöndíjat
Klára 2001-ben és 2003-ban is részt vett Catherine Michel mesterkurzusán Párizsban.
2004-ben Moszkvában Natalia Shameyeva kurzusán, 2007-től pedig rendszeresen tanul Jana Bouskovánál Prágában. 2009-ben Marie-Pierre Langlamet kurzusán tanult Nizzában.
Itthon is több alkalommal vett részt mesterkurzusokon, játszott Xavier de Maistre, Izabella Moretti valamint Marielle Nordmann-nak is.
2002-ben válogatás alapján fellépett a VIII. Hárfás Világkongresszuson Genfben. 2003-ban a Liszt Ferenc Zeneakadémia Baráti Körének ünnepi koncertjén Mozart kettősversenyét játszotta Seres Dórával, Ligeti András vezényletével. 2004. január 21-én a londoni Magyar Kultúrális Központ jóvoltából Seres Dórával adtak közös koncertet a Christie’s aukciós házban. 2005-ben a Kempinski Hotel Corvinusban, 2006-ban a Corinthia Grand Hotel Royalban adott szólóestet. 2007-ben az E.ON 10. évi jubilálásakor a 10 év – 10 ember ünnepi programjában vett részt.
2009. október 9-én Mozart fuvola-hárfaversenyét játszotta a Budafoki Dohnányi Zenekar felkérésére, Kocsis Zoltán a műhöz írt kadenciájával, mely itt került először bemutatásra.
2009-ben a Mini Fesztiválon Tihanyi László Linos című szóló hárfaművét adta elő, mely egyben a magyarországi bemutatója is volt a darabnak, egy évvel később a szerző neki írt Arnis című művének ősbemutatóját a Festetics Palotában tartották. 2010-ben a Duna Szimfonikus Zenekar felkérésére játszotta el Mozart kettősversenyét. Ez év tavaszán szólóestet adott a Francia Intézetben az Alma Mater Koncertek keretében. 2011-ben a XIX. Szolnoki Zenei Fesztiválon került megrendezésre egy kamaraestje, Miskolcon a Reményi Ede Kamarazenekarral Boieldieu Hárfaversenye hangzott el a Művészetek Házában és Oross Veronikával a Művészetek Palotája Üvegtermében adott közös szóló-, illetve kamarakoncertet. Még ebben az évben szólóestet adott a Bukaresti Nemzeti Zeneegyetemen. 2011-ben pedig elindultak a Spicarts koncertestek, ahol változatos műsorral és művészekkel házigazdája a sorozatnak.