Bábel Klára 12 éves korában nyert felvételt a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetem Előkészítő Tagozatára zongora szakon. Zongoraművészi diplomáját 2006-ban, hárfaművészi diplomáját 2007-ben szerezte meg. Ugyanebben az évben felvételt nyert a brüsszeli Koninklijk Conservatoriumba, ahol Jana Bouskova növendékeként két éven át folytatta tanulmányait.

2002-ben közreműködött a VIII. Hárfás Világkongresszus Focus on Youth sorozatában. 2008-ban oklevéllel tüntették ki a IV. Vera Dulova Nemzetközi Hárfaversenyen Moszkvában. 2010-ben Artisjus-díjat kapott, 2010-ben, 2011-ben és 2013-ban pedig elnyerte a Fischer Annie Zenei Előadóművészeti Ösztöndíjat.

2009-ben felvételt nyert a MÁV Szimfonikus Zenekarba, majd 2010-ben sikeres próbajátékot tett a Magyar Rádió Szimfonikus Zenekarához, amelynek azóta is tagja. Szólistaként fellépett többek között Londonban, a Bukaresti Nemzeti Zeneegyetemen, Rigában, Bakuban és Kanadában.

Nevéhez több magyarországi kortárs zenei bemutató is fűződik, köztük Tihanyi László Arnis című, hárfára és kamaraegyüttesre írt művének, valamint Kaija Saariaho Trans című, hárfára és zenekarra komponált darabjának hazai premierje.

2013 óta rendszeresen dolgozik Pozsonyban és Kassán a Quasars Ensemble együttessel. 2015-ben első helyezést ért el a VII. Nemzetközi Marcel Tournier Hárfaverseny kamara kategóriájában Kovács Zalán Lászlóval, 2016-ban pedig Golden Award elismerést nyertek a VIII. Nemzetközi Svirel-i Kamaraversenyen.

2011 óta a saját koncepciója alapján létrehozott Sounds of Bábel koncertsorozat művészeti vezetője. 2017-ben a Back Mindenkinek Fesztivál a magyar zenei élethez való művészi hozzájárulásáért díjban részesítette, a Magyar Rádió Művészeti Együtteseinek vezetősége pedig az Évad Zenekari Művésze díjjal jutalmazta a 2019/2020-as évadban.

Doktori fokozatát 2024-ben szerezte meg a Liszt Ferenc Zeneművészeti Egyetemen, jelenleg az ELTE Bölcsészettudományi kar Művészeti instruktor mesterszakos hallgatója.